坐标旋转变换公式的推导

转自:https://blog.csdn.net/Tangyongkang/article/details/5484636

  1. 围绕原点的旋转
    如下图, 在2维坐标上,有一点p(x, y) , 直线opの长度为r, 直线op和x轴的正向的夹角为a。 直线op围绕原点做逆时针方向b度的旋转,到达p’ (s,t)


    s = r cos(a + b) = r cos(a)cos(b) – r sin(a)sin(b)   (1.1)
    t = r sin(a + b) = r sin(a)cos(b) + r cos(a) sin(b)  (1.2)
    其中 x = r cos(a)  , y = r sin(a)
    代入(1.1), (1.2) ,
    s = x cos(b) – y sin(b)    (1.3)
    t = x sin(b) + y cos(b)    (1.4)

    用行列式表达如下:

  2. 坐标系的旋转

在原坐标系xoy中,  绕原点沿逆时针方向旋转theta度, 变成座标系 sot。
设有某点p,在原坐标系中的坐标为 (x, y), 旋转后的新坐标为(s, t)。

oa = y sin(theta)   (2.1)
as = x cos(theta)   (2.2)
综合(2.1),(2.2) 2式
s =  os = oa + as = x cos(theta) + y sin(theta)
t =  ot = ay – ab = y cos(theta) – x sin(theta)

用行列式表达如下: